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2023年河北專升本數學與應用數學專業考試大綱
2025-08-13 來源：中國教育在線
2023年河北專升本數學與應用數學專業考試大綱已發布！分為數學分析、高等代數、解析幾何三部分，考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時間為150分鐘，試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計算題等。考試主要內容、參考書目、樣題等具體信息如下，請考生參考。
第一部分：數學分析
I.課程簡介
一、內容概述與要求
數學分析是數學與應用數學專業的一門重要專業基礎課程，掌握數學分析的基本理論體系及思想方法對進一步學習和研究具有重要意義。考生應理解《數學分析》中實數的完備性定理；掌握函數、極限、連續、一元函數微積分學、多元函數微積分學、數項級數及函數項級數等相關章節的基本概念與基本理論，掌握上述各部分的基本方法；注意各部分知識結構及知識的內在聯系。考生應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確推理地證明，準確簡捷地計算；能運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。考試從三個層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層級的要求為“了解”。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對概念、理論的高層次與低層次要求。“掌握”是對方法、運算的高層次要求。本說明下列用語的含義：了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關理論的關系，運用是指用以解決基本問題，掌握是指理解并能運用。
二、考試形式與試卷結構
考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時間為150分鐘。
試卷結構：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計算題、證明題和應用題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、證明題均應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。
試卷中《數學分析》、《高等代數》與《解析幾何》試題的分值比例約為150:110:40
II.知識要點與考核要求
一、實數集與函數
1.鄰域、去心鄰域、左鄰域、右鄰域的概念.
2.有界數集的定義，數集的上確界、下確界的定義，確界原理.
3.函數、反函數及復合函數的概念，函數的單調性、有界性、周期性、奇偶性，基本初等函數、初等函數的概念.
（二）考核要求了解內容
1.實數的無限小數表示法.
理解內容
1.區間與鄰域的概念，有界集及確界概念.
2.函數及復合函數、反函數、初等函數的概念.掌握內容
1.數集上確界、下確界的定義，確界原理.
2.求函數的定義域.
3.函數的簡單性質（有界性、單調性、奇偶性、周期性），基本初等函數的性質.
4.將一個復合函數分解為基本初等函數或簡單函數的復合的方法.
二、數列極限
（一）知識要點
1.數列極限的ε−N定義.
2.收斂數列性質，極限的四則運算法則，數列的斂散性與其子列斂散性的關系.
3.迫斂性定理，單調有界原理，數列的柯西收斂準則.
（二）考核要求了解內容
1.極限的歷史.理解內容
1.極限的概念.
2.極限的思想.
3.柯西準則掌握內容
1.
| n |
用數列極限的ε−N定義證明limx=a.
n→∞
2.用數列極限的定義及收斂數列的性質進行相關結論的證明.
3.用四則運算法則、迫斂性定理、單調有界定理證明數列收斂并求極限.
4.用數列極限與其子數列極限之間的關系證明數列發散.
三、函數極限
（一）知識要點
1.自變量各種趨勢下函數極限的精確定義.
2.左極限、右極限與極限的關系.
3.函數極限的性質，函數極限的四則運算法則.
4.歸結原則，柯西準則.
5.兩個重要極限.
6.無窮小量的定義及性質，無窮小量階的比較，用等價無窮小代換求極限.
7.無窮大量的定義，無窮大量與無窮小量的關系.
8.曲線的水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線.
（二）考核要求了解內容
1.極限的幾何意義.
理解內容
1.無窮大、無窮小以及無窮小的階的概念，無窮小的性質，無窮小量階的比較，無窮小量與無窮大量的關系.
2.曲線漸近線的幾何意義，漸近線的求法.
3.歸結原理，柯西準則.掌握內容
1.函數極限的精確定義，左極限、右極限與極限的關系.
2.用函數極限的性質證明與函數極限相關的結論.
3.用極限四則運算法則求極限.
4.用兩個重要極限求極限.
5.用等價無窮小求極限.
四、函數的連續性
1.函數在一點連續的定義，左連續、右連續與連續的關系.
2.函數的間斷點及其分類.
3.連續函數的運算與初等函數的連續性.
4.函數在某點連續的局部性質，閉區間上連續函數的性質（有界性定理、最值定理、介值定理及零點存在定理）.
5.函數f(x)在區間I上一致連續的定義，一致連續性定理.
（二）考核要求了解內容
1.黎曼函數的定義及其性質.
理解內容
1.函數在一點連續與間斷的概念.
2.反函數的連續性.
3.函數在一點連續的局部性質.
4.一致連續的定義，一致連續性定理.掌握內容
1.判斷簡單函數（含分段函數）在一點的連續性質.
2.求函數的間斷點，確定間斷點的類型.
3.初等函數在其定義區間上連續性.
4.運用閉區間上連續函數的性質(有界性定理、最大最小值定理、介值定理、零點定理)推證一些簡單命題.
五、導數與微分
（一）知識要點
1.導數的概念，導數的幾何意義與物理意義.
2.函數的可導性與連續性的關系.
3.導數的基本公式，求導的四則運算法則，復合函數的求導法則.
4.高階導數的概念及求法.
5.參變量函數的一階導數和二階導數的求法.
6.微分的定義，微分的幾何意義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式不變性.
（二）考核要求了解內容
1.微分的幾何意義.
2.用微分做近似計算和誤差估計.理解內容
1.函數的微分概念.
2.一階微分形式不變性.
3.反函數的求導法則.掌握內容
1.導數、左導數、右導數的概念，判斷函數在某點的可導性，用導數定義求導數.
2.函數的可導性與連續性之間的關系.
3.導數的幾何意義和物理意義，求曲線上一點處的切線方程與法線方程.
4.用導數基本公式、導數的四則運算法則、復合函數的求導法則求函數的導數.
5.微分與導數的關系，微分運算法則,求初等函數的微分.
6.高階導數的概念，求初等函數的高階導數.
7.求參變量函數的一階、二階導數.
六、微分中值定理及其應用
（一）知識要點
1.羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式.
2.判定函數單調性，求函數的極值，求函數的最值.
3.判定曲線凹凸性，求曲線的拐點.
4.洛必達法則，求不定式的極限.
5.函數圖像的討論.
（二）考核要求了解內容
1.導數極限定理.
2.導函數的介值定理.理解內容
1.函數極值的概念.
2.羅爾定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義，柯西中值定理.
3.泰勒中值定理，泰勒公式.
4.描繪簡單函數的圖形.掌握內容
1.用羅爾定理、拉格朗日中值定理證明簡單的不等式和證明方程根的存在性.
2.用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間，利用函數的增減性證明簡單的不等式.
3.用二階導數判定曲線的凹凸性，求曲線的凹凸區間及拐點.
4.求函數的極值與最值.
5.求各種不定式極限.
6.解決簡單的最大（小）值的應用問題.
七、實數的完備性
（一）知識要點1.閉區間套定理.
2.聚點的定義及聚點定理.
3.有限覆蓋定理.
（二）考核要求了解內容
1.實數完備性基本定理的等價性.
理解內容
1.集合的開覆蓋、有限開覆蓋的概念，有限覆蓋定理.掌握內容
1.區間套定理.
2.找出集合的聚點，聚點定理.
八、不定積分
（一）知識要點
1.原函數與不定積分的概念，原函數存在定理.
2.不定積分的基本積分公式.
3.不定積分的線性運算法則.
4.不定積分的第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法.
5.有理函數的積分法，簡單無理函數及三角函數有理式的積分法.
（二）考核要求了解內容
1.不定積分的幾何意義.
理解內容
1.原函數與不定積分的概念.
2.求有理函數的不定積分，求三角函數有理式及簡單無理函數的不定積分.掌握內容
1.不定積分的基本公式.
2.不定積分的線性運算法則.
3.用第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法求不定積分.
九、定積分
（一）知識要點
1.定積分的概念及其幾何意義.
2.定積分的性質.
3.積分第一中值定理.
4.變上限定積分，原函數存在定理.
5.可積函數類.
6.牛頓—萊布尼茲公式，定積分的換元法、分部積分法.
（二）考核要求了解內容
1.第一積分中值定理的推廣形式，第二積分中值定理.
理解內容
1.定積分的概念與幾何意義.
2.可積的必要條件.
3.三類可積函數.掌握內容
1.定積分的性質.
2.變上限積分，原函數存在定理，變上限函數的導數.
3.用牛頓—萊布尼茲公式，定積分的換元法和分部積分法計算定積分.
4.證明一些簡單的積分恒等式.
十、定積分的應用
（一）知識要點
1.平面圖形的面積.
2.曲線的弧長.
3.平行截面面積為已知的立體體積、旋轉體的體積.
4.旋轉曲面的面積.
5.用定積分求物理量.
（二）考核要求了解內容
1.曲率、曲率圓、曲率半徑、曲率中心等概念.理解內容
1.微元法的思想.
掌握內容
1.求平面圖形的面積.
2.求平面曲線的弧長.
3.求平行截面面積為已知的立體體積，簡單的封閉平面圖形繞坐標軸旋轉所成旋轉體的體積.
4.求平面曲線繞坐標軸旋轉所成旋轉面的面積.
5.求變力所作的功（質點沿直線運動）.
十一、反常積分
（一）知識要點
1.無窮積分的定義、性質及斂散性的判別.
2.瑕積分的定義、性質及斂散性的判別.
（二）考核要求了解內容
1.兩類反常積分的幾何意義.
2.兩類反常積分的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.
3.用柯西準則判定兩類反常積分的收斂性.理解內容
1.兩類反常積分收斂、發散的概念；兩類反常積分條件收斂和絕對收斂的概念.
2.用比較原則，比較原則的極限形式，柯西判別法，柯西判別法的極限形式判定兩類非負函數反常積分的斂散性.
掌握內容
1.根據定義判定反常積分的斂散性，求收斂的反常積分的值.
十二、數項級數
（一）知識要點
1.級數的概念，級數收斂和發散的定義.
2.級數的基本性質，級數收斂的必要條件.
3.級數收斂的柯西準則.
4.正項級數斂散性的判別法（比較判別法、比式判別法及其極限形式、根式判別法及其極限形式、積分判別法.）
5.交錯級數及其萊布尼茲判別法.
6.級數絕對收斂與條件收斂的定義及判別.
7.一般項級數的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.
（二）考核要求了解內容
1.阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.
2.絕對收斂級數的性質.理解內容
1.級數收斂、發散的概念.
2.正項級數斂散性的積分判別法.
3.用柯西準則判別級數的斂散性.掌握內容
1.用定義判別級數的斂散性，求收斂級數的和.
2.用級數收斂的必要條件判別級數發散.
3.幾何級數的斂散性，p級數的斂散性.
4.用級數的基本性質判別級數的斂散性.
5.用比較判別法、比式判別法及其極限形式、根式判別法及其極限形式判別正項級數的斂散性.
6.用萊布尼茲判別法判別交錯級數收斂.
7.判別級數條件收斂和絕對收斂.
十三、函數列與函數項級數
（一）知識要點
1.函數項級數的一致收斂的優級數判別法.
2.一致收斂的函數列與函數項級數的性質.
（二）考核要求了解內容
1.函數列一致收斂的柯西準則.
2.函數項級數一致收斂的柯西準則.理解內容
1.函數列及函數項級數一致收斂的定義.
2.函數列一致收斂與函數項級數一致收斂之間的關系.掌握內容
1.函數項級數一致斂的優級數判別法.
2.一致收斂函數列的極限函數的連續性、可積性、可微性.
3.一致收斂函數項級數的和函數的連續性、逐項積分、逐項求導.
十四、冪級數
（一）知識要點
1.冪級數的概念，冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域.
2.冪級數的基本性質.
3.將初等函數展開為冪級數.
（二）考核要求了解內容
1.冪級數的概念.
2.泰勒級數的定義.理解內容
1.兩個冪級數和與差的收斂半徑.
掌握內容
1.求冪級數的收斂半徑、收斂域的方法（包括判斷端點處的收斂性）.
2.冪級數在其收斂區間內的基本性質（連續性、逐項求導及逐項積分）.
3.用基本初等函數的馬克勞林展開式將一些簡單的初等函數展開為x或x−a
的冪級數.
十五、多元函數的極限與連續
（一）知識要點
1.二元函數的幾何意義，二元或三元函數的定義域.
2.二元函數極限的概念.
3.二元函數連續的概念.
（二）考核要求了解內容
1.多元函數的概念，二元函數的幾何意義.
2.有界閉域上連續函數的性質.理解內容
1.二元函數的概念.
2.二元函數的二重極限與累次極限的定義及之間的關系.掌握內容
1.二元函數連續的概念.
2.求二元或三元函數的定義域.
3.求較簡單的二元函數的極限.
十六、多元函數微分學
（一）知識要點
1.偏導數、全微分、高階偏導數，函數可微的充分條件與必要條件.
2.求復合函數偏導數的鏈式法則.
3.方向導數和梯度.
4.二元函數的極值.
（二）考核要求了解內容
1.全微分的概念.理解內容
1.偏導數及高階偏導數的概念.
2.二元函數偏導數的幾何意義.
3.方向導數和梯度.掌握內容
1.函數可微的充分條件與必要條件.
2.求復合函數的偏導數（含抽象函數）及全微分.
3.求初等函數的高階偏導數.
4.求二元函數的極值.
十七、隱函數定理及其應用
（一）知識要點1.隱函數的偏導數
2.平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面.
3.曲面的切平面與法線.
4.求多元函數極值的Lagrange乘數法.
（二）考核要求了解內容
1.隱函數定理.理解內容
1.隱函數的概念.
掌握內容1.由方程
f(x,y,z)=0
所確定的隱函數
z=f(x,y)的一階偏導數的計算方法.
2.求平面曲線的切線方程與法線方程，空間曲線的切線方程與法平面方程.
3.求曲面的切平面方程與法線方程.
4.應用Lagrange乘數法求解一些最大值、最小值問題.
十八、含參變量積分
（一）知識要點
1.含參量積分的連續性、可微性、可積性.
2.含參變量反常積分一致收斂的維爾斯特拉斯M判別法.
（二）考核要求了解內容
1.含參變量反常積分一致收斂的判別方法.
2.含參變量反常積分的連續性、可微性、可積性.理解內容
1.含參量積分的概念.
2.含參變量反常積分一致收斂的概念.用維爾斯特拉斯M判別法判別含參變量反常積分一致收斂.掌握內容
1.用含參量積分的連續性求定積分的極限.
2.用交換積分順序的方法求定積分.
十九、曲線積分
（一）知識要點
1.兩類曲線積分性質.
2.兩類曲線積分計算.
（二）考核要求了解內容
兩類曲線積分之間的關系.理解內容
1.兩類曲線積分的概念.
2.兩類曲線積分的性質.掌握內容
1.第一型曲線積分的計算.
2.第二型曲線積分的計算.
二十、重積分
（一）知識要點
1.二重積分的概念及性質.
2.二重積分的計算.
3.二重積分的應用.
4.格林公式，曲線積分與路徑無關的條件.
（二）考核要求了解內容
1.二重積分的概念.理解內容
1.二重積分的性質掌握內容
1.直角坐標系下計算二重積分，選擇積分次序與交換積分次序.
2.用極坐標變換計算二重積分.
3.用二重積分解決簡單的應用問題（限于空間曲面所圍成的體積、曲面的面積、平面薄板質量）.
4.格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關的條件，并應用于曲線積分的計算中.
第二部分：高等代數
Ⅰ 課程簡介
一、內容概述與總要求
參加考試的考生應理解或了解《高等代數》中多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換和歐氏空間的基本概念、定理、性質和方法，能運用本門課程的基礎知識和基本方法進行判斷、分析、計算和證明；應具有較好的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；具備一定的分析、解決問題的能力。考試從三個層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層級的要求為“了解”。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對概念、理論的高層次與低層次要求。“掌握”是對方法、運算的高層次要求。本說明下列用語的含義：了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關理論的關系，運用是指用以解決基本問題，掌握是指理解并能運用。
二、考試形式與試卷結構
考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時間為150分鐘。
試卷結構：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計算題、證明題和應用題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、證明題均應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。
試卷中《數學分析》、《高等代數》與《解析幾何》試題的分值比例約為150:110:40
Ⅱ知識要點與考核要求
一、多項式
1.知識要點
數域P上一元多項式的概念、基本運算和運算律；多項式整除的概念和性質，帶余除法；最大公因式的概念和性質，輾轉相除法；多項式互素的概念和性質；不可約多項式的概念和性質；多項式根的概念和性質；復數域上多項式不可約的充要條件，復數域上多項式根的個數，實系數多項式的非實復數根的特征，實數域上多項式不可約的充要條件；Eisenstein判別法，求整系數多項式有理根的方法.
2.考核要求
（1）掌握數域P上一元多項式的概念、基本運算和運算律.
（2）掌握多項式整除的概念和性質，掌握帶余除法.
（3）掌握最大公因式的概念、性質，掌握輾轉相除法，掌握多項式互素的概念和性質.
（4）掌握不可約多項式的概念和性質.
（5）理解多項式根的概念和性質.
（6）掌握復數域上多項式不可約的充要條件，掌握復數域上多項式根的個數，掌握實系數多項式的非實復數根的特征，掌握實數域上多項式不可約的充要條件．
（7）理解有理數域上多項式與整系數多項式的關系，掌握求整系數多項式有理根的方法，掌握Eisenstein判別法.
二、行列式
1.知識要點
排列及其逆序數，排列的奇偶性，行列式的概念，行列式的性質，余子式和代數余子式，行列式按一行（列）展開定理，Vandermonde行列式，克拉默（Cramer）法則。
2.考核要求
（1）掌握排列的概念，掌握排列逆序數的概念和求法，理解排列的奇偶性.
（2）理解行列式的定義.
（3）掌握行列式的性質，掌握行列式按一行（列）展開定理.
（4）會計算具體行列式的值，會計算簡單n階行列式的值，理解Vandermonde行列式．
（5）了解克拉默法則．
三、線性方程組
1.知識要點
矩陣的概念，矩陣的初等變換，矩陣的秩；用消元法解線性方程組；線性方程組有解的判定定理；齊次線性方程組基礎解系的概念和求法，線性方程組解的結構．
2.考核要求
（1）理解矩陣的概念．
（2）掌握矩陣的初等變換，理解矩陣秩的概念，掌握求矩陣秩的方法.
（3）掌握消元法解線性方程組.
（4）理解線性方程組有解的判定定理.
（5）掌握齊次線性方程組基礎解系的概念及求法.
（6）了解線性方程組解的結構.
四、矩陣
1.知識要點
矩陣的基本運算和運算律；可逆矩陣和逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣的概念，矩陣與其伴隨矩陣的關系，求逆矩陣的方法；n階矩陣乘積的行列式．
2.考核要求
（1）掌握矩陣的基本運算和運算律，理解對稱矩陣反對稱矩陣的概念.
（2）掌握可逆矩陣和逆矩陣的概念和性質，掌握矩陣可逆的充要條件，
（3）理解伴隨矩陣的概念，掌握矩陣與其伴隨矩陣的關系．
（4）掌握求逆矩陣的方法.
（5）會解簡單矩陣方程.
（6）掌握矩陣乘積的行列式.
五、二次型
1.知識要點
二次型的定義，二次型的矩陣表示；矩陣的合同，矩陣的合同變換；二次型的標準形，復數域上和實數域上二次型化成典范形，慣性指數；正定二次型，正定矩陣．
2.考核范圍
（1）理解二次型的概念，會寫出二次型的矩陣.
（2）理解矩陣的合同概念及性質，掌握矩陣的合同變換.
（3）掌握利用矩陣的合同變換求可逆變量替換，把二次型化成標準形．
（4）掌握利用矩陣的合同變換求可逆變量替換，把復數域上和實數域上二次型化成典范形，理解慣性指數的概念．
（5）掌握正定二次型、正定矩陣的概念，掌握矩陣是正定矩陣的充要條件.
（6）掌握求正交變量替換化二次型為標準形的方法.
六、線性空間
1.知識要點
線性空間的定義，向量的運算及其性質（運算律）；向量的線性組合、線性相關與線性無關及其主要性質，向量組的極大線性無關組，向量組的秩；行向量和列向量，線性空間的基和維數，向量坐標的概念；線性子空間的定義，線性空間的子集是子空間的充要條件，向量組生成子空間的定義，子空間的交、子空間的和．
2.考核范圍
（1）了解線性空間的定義；掌握向量的運算及其性質（運算律）．
（2）掌握向量的線性組合、線性相關與線性無關及其主要性質，掌握向量組的極大線性無關組的概念，
理解向量組秩的概念．
（3）理解行向量和列向量的含義，掌握行向量組的秩和列向量組的秩的求法．
（4）理解線性空間的基和維數．
（5）理解向量坐標的概念．
（6）了解線性子空間的定義，掌握線性空間的子集是子空間的充要條件；理解向量組生成子空間的定義；理解子空間的交、子空間的和．
七、線性變換
1.知識要點
線性變換的概念、性質、運算和運算律；線性變換與矩陣的關系，矩陣的相似；矩陣的特征值和特征向量的概念和求法，線性變換的特征值和特征向量的概念和求法；矩陣和線性變換對角化的定義、條件和方法.
2.考核范圍
（1）掌握線性變換的概念、性質、運算和運算律.
（2）理解線性變換與矩陣的關系.
（3）理解矩陣相似的概念及性質.
（4）掌握矩陣的特征值，特征向量的概念和求法，掌握線性變換的特征值，特征向量的概念和求法.
（5）掌握矩陣和線性變換對角化的定義、條件和方法.
八、歐氏空間
1.知識要點
歐氏空間的概念，向量內積的性質；向量長度、單位向量、向量夾角、向量正交的概念，正交向量組和標準正交基的概念，施密特正交化方法，正交矩陣；正交變換的概念和性質；實對稱矩陣的性質，實對稱矩陣的正交對角化．
2.考核范圍
（1）掌握歐氏空間的概念，掌握向量內積的性質；掌握向量長度、單位向量、向量夾角、向量正交的概念．
（2）掌握正交向量組和標準正交基的概念，了解施密特正交化方法；掌握正交矩陣的概念和性質.
（3）掌握正交變換的概念和性質．
（4）掌握實對稱矩陣的性質，掌握實對稱矩陣的正交對角化方法.
第三部分：解析幾何
I.課程簡介
一、內容概述與要求
參加考試的考生應理解向量的概念及其運算和應用，掌握空間平面、直線方程的求法及相關位置的解析條件，了解《解析幾何》中方程（主要是三元一次、三元二次方程）與空間圖形的聯系，培養學生對空間圖形的直觀想象能力及運用幾何知識和方法解決實際問題的能力，使學生在較高的理論水平基礎上，處理后續數學課程中與圖形有關的問題。考試從三個層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層級的要求為“了解”。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對概念、理論的高層次與低層次要求。“掌握”是對方法、運算的高層次要求。本說明下列用語的含義：了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關理論的關系，運用是指用以解決基本問題，掌握是指理解并能運用。
二、考試形式與試卷結構
考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時間為150分鐘。
試卷結構：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計算題、證明題和應用題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、證明題均應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。
試卷中《數學分析》、《高等代數》與《解析幾何》試題的分值比例約為150:110:40
II.知識要點與考核要求
一、向量與坐標
（一）向量與坐標1.知識要點
向量的概念；向量加法；數量乘向量；向量的線性關系與向量的分解；標架與坐標；向量在軸上的射影；兩向量的數量積；兩向量的向量積；三向量的混合積；三向量的雙重向量積。
2.考核要求
（1）了解向量的線性組合、線性相關的定義及直線、平面、空間向量線性分解的唯一性定理；了解標架與坐標的意義，坐標系與卦限的相關概念；了解三向量雙重向量積的定義和運算。
（2）理解向量的相關概念及其表示，共線向量與共面向量，向量的線性相關與線性無關，向量的線性相關性定理；理解向量在軸上的射影與射影向量的定義與性質。
（3）掌握用平行四邊形法則和三角形法則做向量的加法和減法；掌握數量乘向量的定義及運算規律，掌握數乘向量的坐標運算；掌握兩向量數量積的定義和運算規律，兩向量垂直的充要條件，兩向量數量積的坐標表示，兩向量夾角的計算；掌握向量積的定義和運算規律，兩向量共線的充要條件，向量積的坐標表示；掌握三向量混合積的定義和性質，三向量共面的充要條件，三向量混合積的坐標表示。
二、軌跡與方程
1.知識要點
平面曲線的方程；曲面的方程；球坐標系與柱坐標系；空間曲線的方程。2.考核要求
（1）了解常見曲線與曲面的參數方程及其圖形，同一曲線、曲面的參數方程有多種不同形式。
（2）理解曲線、曲面方程的意義，能根據已知條件選取適當坐標系，建立曲線、曲面方程。
（3）掌握曲線、曲面參數方程的概念，熟悉曲線、曲面的參數方程與普通方程的互化。
三、平面與空間直線
1.知識要點
平面的方程；點與平面的相關位置；兩平面的相關位置；空間直線方程；直線與平面的相關位置；空間直線與點的相關位置；空間兩直線的相關位置；平面束。
2.考核要求
（1）了解空間直線參數方程中參數幾何意義。
（2）理解點到平面的距離和點與平面間的離差的區別和聯系；理解空間兩異面直線間的距離及空間兩異面直線的公垂線相關概念；理解平面束的相關概念和應用。
（3）掌握平面與空間直線的各種形式的方程，根據決定平面或決定直線的各種幾何條件導出它們的方程，根據平面和直線的方程以及點的坐標判斷有關點、直線、平面之間的位置關系與計算它們之間的距離與交角。
四、柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面
1.知識要點
柱面及柱面方程，空間曲線對坐標面的射影柱面；錐面及其方程，錐面方程的特征；旋轉曲面及方程、特殊旋轉曲面的認識；橢球面與雙曲面；橢圓拋物面與雙曲拋物面；平行截割法；單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。
2.考核要求
（1）了解橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面的標準方程。了解用平行截割法認識曲面的大致形狀。
（2）理解母線平行于坐標軸的柱面方程，理解以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程，理解單葉雙曲面與
雙曲拋物面的直紋性。
（3）掌握求柱面、錐面、旋轉曲面方程的一般方法與步驟。
III.模擬試卷及參考答案
河北省普通高等學校專升本考試數學與應用數學專業模擬試卷
(考試時間：150分鐘）
（總分：300分）
說明：請在答題紙的相應位置上作答，在其它位置上作答的無效。
一、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。請將答案填寫在答題紙的相應位置上。）
1.設y=xsinx，則y′=.
??x=ln
2.設?
1+t2
d2y
，則dx2=.
??y=arctant
| ∫π1+sinx |
πx+cosx
3.2
−2
2
dx=.
4.
| ∫ |
f(x)的一個原函數為sinx，則xf′(x)dx=.
x
5.
| ? |
| 2 |
已知f(x)=?x
x≤1
在x=1處可導，則a=,b=.
?ax+b
x>1
12a
6.設行列式203中，代數余子式A21=0，則a＝．
369
7.設P、Q都是可逆矩陣，若PXQ=B，則X=．
8.直線x−1=
y−1=
z與平面x+ky−3z+1=0平行，則k=.
12−3
二、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個備選項中，選出一個正確的答案，并將所選項前的字母填寫在答題紙的相應位置上。）
?n1?n
9.若lim?∑k(k+1)?
=().
n→∞?k=1
A.e−2
?
B.1C.eD.
e−1
10.若級數∑an
n=1
∞
| 絕對收斂，則∑(−1)a的斂散性是(). |
n2
n
n=1
A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.可能收斂，也可能發散
11.下列級數中條件收斂的是（）.
(−1)n−1(2n−1)
(−1)n−1
A.∑2n
B.∑ln(n+1)
C.
| ∑ |
(1+
n
(−1)n
)
n
D.∑
(−1)n(sinn+cosn)
n2
12.設z=f(x,y)是由方程x2+3y2+2z2−1=0所確定的隱函數，則∂z=（）.
∂y
A.−2zB.
3y
−C.
| x |
2z
3y3y
| − |
D.。
2z2z
13.極限
lim
(x,y)→(0,0)x2
1
xy
+y2
（）.
k
A.等于
2
B.等于0C.等于
1+k2
D.不存在
14.下列對于多項式的結論不正確的是（）．A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)=g(x)
B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x) (g(x)±h(x))
C.如果f(x)g(x)，那么∀h(x)∈F[x]，有f(x)g(x)h(x)
D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)
15.對于n階實對稱矩陣A，以下結論正確的是（）.
A.一定有n個不同的特征值B.存在正交矩陣P，使P′AP成對角形
C.它的特征值一定是整數D.屬于不同特征值的特征向量必線性無關，但不一定正交
16.兩平面2x−y+2z+1=0與2x−y+2z−2=0間的距離為().
A.1B.2C.3D.4
三、判斷題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。正確的劃“√”，錯誤的劃“×”，請將答案填涂在答題紙的相應位置上。）
17.二元函數f(x,y)=x2−5y2−6x+10y+6在點(3,1)取得極值.（）
18.設L為不通過原點的按段光滑的閉曲線，則
?∫L
xdy−ydx
x2+y2=0.（）
| ? |
?1
19.若
f(x)=?(1−2x)x+exx≠0
是連續函數，則a=e.（）
??a2+cosxx=0
20.設f(x,y)在R2上連續，則∫
x2
| 00 |
| 1 |
| ∫ |
dx
f(x,y)dy=∫1dy1
| y |
f(x,y)dx
.（）
21.
| ∫ |
| 0 |
若f(x)在x可導,并且limf(x0−2h)−f(x0+2h)=1
，則f′(x)=−1.（）
0h→0h04
22.若向量組α1,α2,?,αs（s>1）線性相關，則存在某個向量是其余向量的線性組合.（）
23.實對稱矩陣為正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負.（）
24.平面2x−y−2z−5=0與x+3y−z−1=0的位置關系為相交.（）
四、計算題（本大題共5小題，每小題20分，共100分。請在答題紙的相應位置上作答。）
∞x4n+1
25.
| n=1 |
求冪級數∑4n+1的和函數，并指出收斂域.
26.設D為xy面上的區域：4≤x2+y2≤9，求∫∫e−(x2+y2)dxdy
D.
27.
a,b取什么值時,方程組
?x1+x2+x3+x4+x5=1
?3x+2x+x+x−3x=a
?12
| x |
| ?2 |
| 3 |
?+2x
34
+2x4
5
+6x5=3
??5x1+4x2+3x3+3x4−x5=b
有解？在有解的情形下,求一般解.
?001?
28.設ε,ε,ε為V的基，且線性變換σ在此基下的矩陣為A=?010?
123
（1）求σ的特征值與特征向量；
??
| ?? |
?100?
（2）σ是否可以對角化？如果可以，求可逆矩陣T使得T−1AT為對角形．
29.求通過點M1(1,−5,1)和M2(3,2,−2)且垂直于xoy坐標面的平面的坐標式參數方程和一般方程.
五、證明題（本大題共3小題，每小題20分，共60分。請在答題紙的相應位置上作答。）
30.證明函數f(x)=
xlnx
在(0,+∞)內有最小值沒有最大值，并求其最小值.
31.設向量組α1,α2,?,αr線性無關，而向量組α1,α2,?,αr,β線性相關，
證明：β可以由α1,α2,?,αr線性表出，且表示法唯一．
32.設A,B∈Pn×n是兩個給定的n級矩陣，記W={XAX=XB,X∈Pn×n,}
證明：W是線性空間Pn×n的一個子空間.
六、應用題（本大題共1小題，共20分。請在答題紙的相應位置上作答。）
33.求曲線形構件L:x=a，y=at，z=1at2(0≤t≤1,a>0)的質量M，其線密度為ρ=2z.
2a
數學與應用數學專業參考答案
一、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.填對得5分，未填或填錯得0分）
1.sinxsinx
x(+cosx⋅lnx)
x
2.−1−1
t3t
π
3.
2
sinx
4.cosx−2+Cx
5.2,−1.
6.3
7.P−1BQ−1
8.−5
二、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.選對得5分，選錯、未選或多選得0分）
9.D10.A11.B12.C13.D14.A15.B16.A
三、判斷題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.填對得5分，未填或填錯得0分)
17.錯18.錯19.錯20.對21.對22.對23.錯24.對
四、計算題（本大題共5小題，每小題20分，共100分.解答過程、步驟和答案必需完整、正確）
25.解：此冪級數的收斂半徑為R=1，收斂區域為(−1,1)
…..............................................................3分
∞x4n+1
| n=1 |
設S(x)=∑4n+1
S′(x)=∑
n=1
x4n=
x4
1−x4
…..........................................................................................................6分
=−1−1+1+1
4(x−1)4(x+1)2(x2+1)
…...................................................................................9分
| ∫ |
S(x)=xS′(x)dx
0
…...................................................................................................................10分
=x?−1−1+1+1?
…..................................................................12分
∫0?
4(x−1)4(x+1)2(x2+1)?dx
??
=−xdx−1x1dx+1
x1dx+1x
1dx
….......................................................15分
∫04∫0
x−14∫0x+12∫0
x2+1
= −x−1lnx−1+1lnx+1+1arctanx........................................................................................20分
442
26.解：令x=rcosθ，y=rsinθ
在極坐標系下積分區域為Δ:2≤r≤30≤θ≤2π
…..................................................................4分
所以∫∫e−(x2+y2)dxdy=∫∫re−r2drdθ
…..........................................................................................8分
D
| ∫∫ |
=2πdθ3re−r2dr
02
Δ
…...............................................................................................................12分
| ∫ |
=π3e−r2d(r2)
| =π?−e−r2?=π?1−3? | 1e9 | ?? | ………………………………………… | ||||||||
| ?11? | 1 | 1 | 1 | 1?? | ?1? | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 27.解：A=?32 | 1 | 1 | −3 | a?→?0 | 1 | 2 | 2 | 6 | 3 | ||
| ?01 | 2 | 2 | 6 | 3? | ?0 | 0 | 0 | 0 | 0 | a | |
| ?54 | 3 | 3 | −1 | ?b | ?0 | 0 | 0 | 0 | 0 | b− | |
2
??2
?e4
…...................................................................................................................16分
…................................................20分
?
???
?
?
?
?................................................3分
?
2?
當a=0,b=2時,R(A)=R(A)=2,則方程組有解...........................................................................6分
此時原方程組同解于
?x1+x2+x3+x4+x5=1
(1),.................................................................................................8分
| x |
| ?2 |
| 3 |
?+2x
+2x4
+6x5=3
(1)的導出組為
?x1+x2+x3+x4+x5=0
(2)
| x |
| ?2 |
| 3 |
?+2x
+2x4
+6x5=0
分別取自由未知量x3,x4,x5為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),代入(2)則可解得導出組的基礎解系為
η1=(1,−2,1,0,0),η2=(1,−2,0,1,0),η3=(5,−6,0,0,1),..................................................................16分
再取自由未知量x3,x4,x5為(0,0,0)代入(1)則可解得特解為
γ0=(−2,3,0,0,0),......................................................................18分
那么一般解為
γ0+k1η1+k2η2+k3η3,k1,k2,k3任意...........................................................................20分
λ0−1
28.解：（1）
λE−A=0
λ−10
=（λ−1）（2λ+1），.......................................................4分
−10λ
所以σ的特征值λ1=λ2=1和λ3=−1．................................................................................................6分
當λ=λ=1時，由(λE−A)X=0得基礎解系X
?1?
=?0?，X
?0?
=?1?，.....................................8分
121
1??
| 1 |
??
??
2??
| 0 |
??
??
故屬于1的線性無關的特征向量是ξ1=ε1+ε3ξ2=ε2，而屬于1的全部特征向量是k1ξ1+k2ξ2（其中k1,k2
為不全為零的任意常數）．........................................................................................................................10分
?−1?
當λ= −1時，由(λE−A)X=0得基礎解系?0?，故屬于−1的線性無關的特征向量是ξ= −ε+ε，
33??
313
?1?
??
屬于−1的全部特征向量是kξ3，（k為不為零的任意常數）．...............................................................14分
（2）因為σ有三個線性無關的特征向量，所以σ可以對角化．..............................................................16分
?10
−1?
?100?
令T=?010?，則T-1AT=?010?.........................................................................20分
????
??101??
??00
−1??
29.解：由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z軸，即{0,0,1}與所求的平面平行，又M1M2={2,7,−3}，平行于所求的平面，4分
?x=1+2u
?
所以要求的平面的參數方程為：?y= −5+7u
| ? |
?z=1−3u+v
…............................................................................10分
平面的點位式方程為：
x−1
2
0
y+5
7
0
z−1
-3
1
=0................................................................................15分
一般方程為：7(x−1)−2(y+5)=0，即7x−2y−17=0................................................................20分
五、證明題（本大題共3小題，每小題20分，共60分.證明過程、步驟和答案必需完整、正確）
30.證明：f′(x)=
1lnx+
xlnx+2
=，...................................................................................3分
2xx2x
令f′(x)=0
得x=e−2............................................................................................................5分
又因為當
x∈(0,e−2)
時，f′(x)<0，......................................................................................6分
當x∈(e−2,+∞)
−2
時，f′(x)>0........................................................................................7分
−2−2
所以f(x)在
x=e
處取得極小值，并且f(e
)=e...............................................................10分
又因為f(x)在(0,+∞)內只有一個極值點，
所以f(x)在
x=e−2處取得最小值..........................................................................................12分
又因為lim
x→0+
f(x)=lim
x→0+
xlnx=lim
x→0+
lnx
−1
…................................................................................14分
x2
| 3( |
x−1
=lim
x→0+
−1x−
2
=lim−2
x→0+
2
x)=0，..............................................................................................16分
lim
x→+∞
f(x)=lim
x→+∞
xlnx=+∞........................................................................................................18分
所以函數f(x)=
xlnx
在(0,+∞)內有最小值沒有最大值，并且最小值是
f(e−2)=−2................................................................................................................................20分
e
31.證明：（1）由α1,α2,?,αr,β線性相關，存在不全為零的數k1,k2,?,kr,kr+1，使
k1α1+k2α2+?+krαr+kr+1β=0............................................................................5分
又由α1,α2,?,αr線性無關，得kr+1≠0（否則，α1,α2,?,αr線性相關，矛盾），于是有
β=−
k1kr+1
α1−
k2kr+1
α2−?−
krkr+1
αr；................................................................10分
（2）設β=c1α1+c2α2+?+crαr，β=l1α1+l2α2+?+lrαr，則
c1α1+?+crαr=l1α1+?+lrαr，
(c1−l1)α1+(c2−l2)α2+?+(cr−lr)αr=0，.................................................................17分
由于α1,α2,?,αr線性無關，故c1−l1=0,c2−l2=0,?,cr−lr=0，
即ci=li（i=1,2,?,r）．...............................................................................................................20分
32.證明
?0∈W,∴W≠∅
….....................................................................................................2分
對∀k∈P，∀X,Y∈W，即AX=XB,AY=YB，......................................................................6分
有A(X+Y)=XB+YB=(X+Y)B，.............................................................................................12分
A(kX)=k(BX)=B(kX)，.............................................................................................................18分
所以X+Y∈W，kX∈W，
故W是線性空間Pn×n的一個子空間..................................................................................................20分
六、應用題（本題20分.解答過程、步驟和答案必需完整、正確）
33.解：由第一型曲線積分的物理意義知
M=∫L
2zds..................................................................................................................................5分
a
| ∫ |
=1ta2+a2t2dt0
…...............................................................................................................10分
=a∫1
1+t2d(1+t2)
…............................................................................................................14分
20
a?3?1
=?(1+t2)2?
3??0
…...................................................................................................................16分
| 3 |
=a(22−1)
…..........................................................................................................................20分
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