2023年河北專升本考試高等數學（一）（理工類）考試大綱

2025-08-12 來源：中國教育在線

2023年河北專升本考試高等數學（一）（理工類）考試大綱已發布！考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為100分，考試時間為60分鐘，試卷包括選擇題、填空題、計算題和應用題。考試主要內容、參考書目、樣題等具體信息如下，請考生參考。

I.課程簡介

一、內容概述與總要求

高等數學考試是為招收理工類、經管類及農學類各專業專升本學生而實施的入學考試。為了體現上述不同類別各專業對專升本學生入學應具備的數學知識和能力的不同要求，高等數學考試分為高等數學（一）(理工類）考試、高等數學（二）（經管、農學類）考試，每一類考試單獨編制試卷。

參加高等數學（一）考試的考生應理解或了解《高等數學》中函數、極限、連續、一元函數微分學、一元函數積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程以及《線性代數》中行列式、矩陣、線性方程組的基本概念與基本理論；掌握或學會上述各部分的基本方法；注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具有一定的運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和抽象思維能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法準確、簡捷地進行計算，正確地推理證明；注重數學應用能力的培養，能綜合運用所學知識分析并解決較簡單的實際問題。數學考試從兩個層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層次的要求為“了解”和“會”。這里“理解”和“了解”是對概念與理論提出的要求。“掌握”和“會”是對方法、運算能力及應用能力提出的要求。二、考試形式與試卷結構

考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為100分，考試時間為60分鐘。

試卷包括選擇題、填空題、計算題和應用題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程；計算題、應用題均應寫出文字說明及演算步驟。

選擇題和填空題分值合計為50分。其余類型題目分值合計為50分。

高等數學（一）中《高等數學》與《線性代數》試題的分值比例約為84:16。

II.知識要點與考核要求

一、函數、極限與連續

（一）函數

1.知識范圍

函數的概念及表示法分段函數函數的奇偶性、單調性、有界性和周期性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數簡單應用問

題函數關系的建立。

2.考核要求

（1）理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值。

（2）了解函數的簡單性質，會判斷函數的有界性、奇偶性、單調性、周期性。

（3）掌握基本初等函數的性質及其圖形。

（4）理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念；掌握將一個復合函數分解為基本初等函數或者簡單函數的復合的方法。

（5）會建立實際問題中的函數關系式并利用函數關系分析和解決較簡單的實際問題。(二)極限

1.知識范圍

數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左、右極限極限的四則運算無窮小無窮大無窮小的比較。

兩個重要極限

2.考核要求

（1）理解極限的概念(對極限定義中“ε−N”、“ε−δ”、“ε−M”等形式的描述不作要求)，理解函數左、右極限的概念以及極限存在與左、右極限之間的關系，了解自變量趨向于無窮大時函數極限存在的充分必要條件。

（2）了解極限的性質，掌握極限的四則運算法則。

（3）理解無窮小、無窮大以及無窮小的比較(高階、低階、同階和等價)的概念，會應用無窮小與無窮大的關系、有界變量與無窮小的乘積、等價無窮小代換求極限。

（4）掌握應用兩個重要極限求極限的方法。(三)函數的連續性

1.知識范圍

函數連續的概念函數的間斷點初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質(最大值與最小值定理、零點存在定理)及其簡單應用。

2.考核要求

（1）理解函數連續性概念，會判斷分段函數在分段點的連續性。

（2）會求函數的間斷點。

（3）了解閉區間上連續函數的性質(最大值與最小值定理、零點存在定理)。

（4）了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解函數在一點連續和極限存在的關系，會應用函數的連續性求極限。

（5）會利用連續函數的最大、最小值定理及零點存在定理分析和解決較簡單的實際問

題。

二、一元函數微分學

(一)導數與微分

1.知識范圍

導數與微分的概念導數的幾何意義與物理意義函數的可導性與連續性的關系平面曲線的切線和法線基本初等函數的導數導數與微分的四則運算復合函數、隱函數以及參數方程確定的函數的微分法高階導數的概念某些簡單函數的n階導數微分運算法則一階微分形式的不變性。

2.考核要求

（1）理解導數與微分的概念，理解導數的幾何意義，了解函數的可導性與連續性之間的關系，會求分段函數在分段點處的導數。

（2）會求平面曲線的切線方程與法線方程。

（3）掌握基本初等函數的導數公式，掌握導數的四則運算法則及復合函數的求導法則。

（4）會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數，會使用對數求導法。

（5）了解高階導數的概念，會求某些簡單函數的n階導數。

（6）掌握微分運算法則及一階微分形式不變性，了解可微與可導的關系，會求函數的微分。

(二)微分中值定理和導數的應用

1.知識范圍

羅爾(Rolle)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理洛必達(L’Hospital)法則函數單調性的判定函數極值及其求法函數最大值、最小值的求法及簡單應用函數圖形的凹凸性與拐點及其求法函數圖形的水平漸近線和垂直漸近線。

2.考核要求

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義。

（2）掌握用洛必達法則求0,∞,0⋅∞,∞−∞型未定式極限的方法。

0∞

（3）掌握利用導數判定函數單調性及求函數的單調區間的方法。

（4）理解函數極值的概念，掌握求函數極值的方法，掌握函數最大值、最小值的求法及簡單應用。

（5）會判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點。

（6）會求函數圖形的水平漸近線和垂直漸近線。

（7）會描繪簡單函數的圖形。

三、一元函數積分學

(一)不定積分

1.知識范圍

原函數與不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式第一換元法（即湊微分法）第二換元法分部積分法簡單有理函數、簡單無理函數及三角函數有理式的積分。

2.考核要求

（1）理解原函數與不定積分的概念。

（2）理解不定積分的基本性質。

（3）掌握不定積分的基本公式。

（4）掌握不定積分的第一換元法、第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）和分部積分法。

（二）定積分

1.知識范圍

定積分的概念和性質變上限定積分及其導數牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式定積分的換元法和分部積分法定積分的應用（平面圖形的面積，旋轉體的體積，物理學中的簡單應用）無窮區間的廣義積分的概念與計算。

2.考核要求

（1）理解定積分的概念，理解定積分的基本性質。

（2）理解變上限定積分是其上限的函數及其求導定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

（3）掌握定積分的換元法和分部積分法。

（4）掌握用定積分求平面圖形的面積、簡單的封閉平面圖形繞坐標軸旋轉所成旋轉體體積及定積分在物理學中的簡單應用。

（5）了解無窮區間的廣義積分的概念，會計算無窮區間的廣義積分。

四、向量代數與空間解析幾何

（一）向量代數

1.知識范圍

向量的概念向量的坐標表示方向余弦單位向量向量的線性運算向量的數量積與向量積及其運算兩向量的夾角兩向量垂直、平行的充分必要條件。

2.考核要求

（1）理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示；了解單位向量、向量的模與方向余弦，向量在坐標軸上的投影。

（2）掌握向量的線性運算、數量積、向量積，以及用坐標表達式進行向量運算的方法。

（3）掌握兩向量平行、垂直的條件，會求兩向量的夾角。

（二）平面與直線

1.知識范圍

平面點法式方程和一般式方程點到平面的距離空間直線的標準式（又稱對稱式或點向式)方程、一般式(又稱交面式)方程和參數式方程直線與直線、直線與平面、平面與平面平行、垂直的條件和夾角。

2.考核要求

（1）掌握平面的方程，會判定兩平面平行、垂直或重合。

（2）會求點到平面的距離。

（3）掌握空間直線的標準式方程、一般式方程、參數式方程。會判定兩直線平行、垂

直或重合。

（4）會判定直線與平面間的位置關系(垂直、平行、斜交或直線在平面上)。(三)曲面的方程

1.知識范圍

曲面方程的概念球面母線平行于坐標軸的柱面旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面常用二次曲面。

2.考核要求

（1）了解曲面方程的概念。了解母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程及其圖形。

（2）了解球面、橢球面、圓柱面、圓錐面和旋轉拋物面等常用二次曲面的方程及其圖形。

五、多元函數微分學

1.知識范圍

多元函數的概念二元函數的極限與連續的概念偏導數、全微分的概念全微分存在的必要條件與充分條件二階偏導數復合函數、隱函數的求導法偏導數的幾何應用多元函數的極值、條件極值的概念多元函數極值的必要條件二元函數極值的充分條件極值的求法拉格朗日乘數法。

2.考核要求

（1）理解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義和定義域；了解二元函數極限與連續概念(對計算不作要求)。

（2）理解偏導數的概念，了解全微分的概念和全微分存在的必要條件和充分條件。

（3）掌握二元初等函數的一、二階偏導數的計算方法，會求全微分。

（4）掌握復合函數一、二階偏導數的計算方法(含抽象函數)。

（5）掌握由方程F(x,y)=0所確定的隱函數z=z(x,y)的一階、二階偏導數的求法。

（6）會求空間曲面的切平面方程和法線方程。

（7）會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求二元函數的最大值、最小值并會解一些簡單的應用問題。

六、多元函數積分學

（一）二重積分1.知識范圍

二重積分的概念及性質二重積分的計算二重積分的幾何應用。

2.考核要求

（1）理解二重積分的概念，了解其性質。

（2）掌握二重積分（直角坐標系，極坐標系）的計算方法。

（3）會在直角坐標系內交換兩次定積分的次序。

（4）會用二重積分求空間曲面所圍成立體的體積。

（二）曲線積分1.知識范圍

對坐標的平面曲線積分的概念及性質對坐標的平面曲線積分的計算格林（Green）

公式平面曲線積分與路徑無關的條件。2.考核要求

（1）理解對坐標的平面曲線積分的概念及性質。

（2）掌握對坐標的曲線積分的計算方法。

（3）掌握格林公式，會應用平面曲線積分與路徑無關的條件。

七、無窮級數

（一）常數項級數1.知識范圍

常數項級數收斂、發散的概念收斂級數的和級數收斂的基本性質和必要條件正項

級數收斂性的比較判別法、比值判別法交錯級數的萊布尼茨（Leibniz）判別法絕對收斂與條件收斂。

2.考核要求

（1）

理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念。理解級數收斂的必要條件和基本性質。

（2）掌握幾何級數∑aqn的斂散性。

n=0

∞1∞1

（3）掌握調和級數∑n與p−級數∑np的斂散性。

n=1n=1

（4）掌握正項級數的比值判別法，會用正項級數的比較判別法。

（5）會用萊布尼茨判別法判定交錯級數收斂。

（6）了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會判定任意項級數的絕對收斂與條件收斂。

（二）冪級數1.知識范圍

冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域冪級數在收斂區間內的基本性質函數ex，

ln(1+x)，1

1−x

的馬克勞林（Maclaurin）展開式。

2.考核要求

（1）了解冪級數的概念。

（2）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（逐項求和，逐項求導與逐項積分）。

（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂域的方法（包括端點處的收斂性）。

（4）會運用ex，ln(1+x)，1

1−x

的馬克勞林展開式，將一些簡單的初等函數展開為x

或(x−x0)的冪級數。

八、常微分方程

（一）微分方程基本概念

1.知識范圍>A

常微分方程的概念微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

2.考核要求

（1）了解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。

（2）會驗證常微分方程的解、通解和特解。

（3）會建立一些微分方程，解決簡單的應用問題。

（二）一階微分方程

1.知識范圍

一階可分離變量微分方程一階線性微分方程。

2.考核要求

（1）掌握一階可分離變量微分方程的解法。

（2）會用公式法解一階線性微分方程。

（三）二階線性微分方程

1.知識范圍

二階線性微分方程解的性質和解的結構二階常系數齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性微分方程。

2.考核要求

（1）了解二階線性微分方程解的性質與解的結構。

（2）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

（3）掌握二階常系數非齊次線性微分方程特解的形式，其中自由項限定為

f(x)=eaxP(x)（a是常數，P(x)是n次多項式）或f(x)=eax(Acosbx+Bsinbx)

(a,b,A,B是常數），并會求二階常系數非齊次線性微分方程的通解。

九、線性代數

（一）行列式1.知識范圍

行列式的概念余子式和代數余子式行列式的性質行列式按一行（列）展開定理

克萊姆（Cramer）法則及推論。2.考核要求

（1）了解行列式的定義，理解行列式的性質。

（2）理解行列式按一行（列）展開定理。

（3）掌握計算行列式的基本方法。

（4）會用克萊姆法則及推論解線性方程組。

（二）矩陣1.知識范圍

矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法矩陣的轉置單位矩陣對角矩陣三角

形矩陣方陣的行列式方陣乘積的行列式逆矩陣的概念矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換矩陣的秩初等變換求矩陣的秩和逆矩陣。

2.考核要求

（1）了解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣和三角形矩陣。

（2）掌握矩陣的線性運算、乘法和矩陣的轉置。

（3）會用伴隨矩陣法求二、三階方陣的逆矩陣。

（4）理解矩陣秩的概念，會用初等變換法求矩陣的秩和逆矩陣，會解簡單的矩陣方程。

（三）線性方程組1.知識范圍

向量的概念向量組的線性相關與線性無關向量組的極大無關組向量組的秩與矩陣

的秩的關系齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件齊次線性方程組的基礎解系和通解非齊次線性方程組的通解用行初等變換求解線性方程組的方法。

2.考核要求

（1）理解n維向量的概念，理解向量組線性相關與線性無關的定義，了解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念。

（2）了解判別向量組的線性相關性的方法。

（3）會求齊次線性方程組的基礎解系，會求齊次線性方程組和非齊次線性方程組的一般解和通解。

（4）會建立線性方程組，解決簡單的應用問題。

III.模擬試卷及答案

河北省普通高等學校專升本考試

高等數學（一）（理工類）模擬試卷1

（考試時間：60分鐘）

（滿分：100分）

說明：請在答題紙的相應位置上作答，在其他位置上作答的無效。

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個備選項中，選出一個正確的答案，并將所選項前的字母填涂在答題紙的相應位置上）

1.函數y=

A.(0,1)

C．(0,4)

16−x2+x−1的定義域是（）.

lnx

B.(0,1)∪(0,4)

D．(0,1)∪(0,4]

2.下列等式正確的是（）.

lim(1+x)x=1

x→∞e

B.lim

x→∞

cosx=1

C.lim

x−sinx

=1D．lim

(1+x)3−1

x→0x22x→03x

3.設函數y=lnx−x的單調增區間是（）.

A.(0,1)

C．(0,+∞)

4.設f(x)=1−x,

g(x)=1−

B．[1，+∞)

D．(−∞,+∞)

x，則當x→1時（）.

A.f(x)是比g(x)高階的無窮小B．f(x)是比g(x)低階的無窮小

C．f(x)與g(x)是同階但不等價的無窮小D．f(x)與g(x)等價無窮小

5.直線l:

x−3=y+2=z

與平面π:3x+3y−z+8=0的位置關系（）.

2−13

A.垂直B．平行

C．斜交D．l在平面π內

6.已知∫xf(x)dx=ex2+C，則f(x)=（）.

ex2

2ex2

C.2ex2D．2xex2

7.設A,B,C均為n階方陣，且AB=BA、AC=CA，則ABC=（）.

A.ACBB．CAB

C．CBAD．BCA

8.由方程exy+lny=x所確定的隱函數y=

f(x)的導數dy=（）.

y(1−yexy)

A．

1+xexy

y(1−yexy)

C．

1+yexy

y(1−yexy)

B．

1+xyexy

1−yexy

D．

1+xyexy

9.由曲線y=1、直線y=x及x=2所圍成區域的面積為（）.

A.∫2(1−x)dxB．∫2(x−1)dx

212

C．∫1(2−y)dy+∫1(2−y)dyD．∫1(2−x)dx+∫1(2−x)dx

10.微分方程(xlnx)y′=y的通解為（）.

A.y=Clnx

C．y=Clnlnx

B.y=ln(x+C)

D．y=lnClnx

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，將答案填寫在答題紙的相應位置上）

11.二元函數z=ln(y2−2x+1)的定義域為.

?3+x?2x

12.

極限lim

x→∞?2+x?

13.

設f(x)=x2(t2+1)dt，則f′(x)=.

∞xn

14.

冪級數∑

n=1

的收斂域為.

15.

已知矩陣A=?23?，則2A−1

三、計算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分，將解答的主要過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上）

323

∂z∂2z

16.求函數z=xy−3xy

−xy+1的一階偏導數∂x，二階偏導數∂x∂y.

17.計算∫

x(1+x)

?x1+x2+x3−3x4=3

18.已知線性方程組?2x+x+x−5x=4

，用導出組的基礎解系表示其通解.

?1234

?3x+2x+2x−8x=7

?1234

19.應用格林公式計算曲線積分?2?−2，其中L為圓周x2+y2=a2取

正向。

四、應用題（本題10分，將解答的主要過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上）

20.有一鑄鐵件，它是由三條線：拋物線y=1

x2，y=1

x2+1與直線y=10圍

成的圖形，繞y軸旋轉而成的體積，計算其質量。其中長度單位：cm，鐵的密度：

7.8g/cm2）

高等數學（一）（理工類）模擬試卷1參考答案及評分標準

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.選對的3分，選錯、未

選或多選得0分）

1.D2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.B9.B10.A

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.填對得4分，未填或填錯得0分）

11.{(x,y)y2>2x−1}

12.e2

13.

2x5+2x

14.[−1,1)

15.2

三、計算題（本大題共4題，每題10分，共40分。解答過程、步驟和答案必須完整、正確）

16.解：∂z=3x2y2−3y3−y

∂x

….........................................................................5分

∂2z∂∂z22

∂x∂y=∂y(∂x)=6xy−9y−1

….......................................................10分

17.解：∫

x(1+x)

=2dx

1+x

…...................................................................................4分

=∫2dx

…...................................................................................6分

1+(x)2

=2arctanx+C

…............................................................................10分

18.解：對增廣矩陣作初等行變換

?111

−33??111−33?

?100

−21?

?211−54?→?0−1−11−2?→?011−12?……4分

??????

?322−87??00000??00000?

??????

?x1=2x4+1

其同解方程組為?x

=−x+x+2

x3,x4

為自由元.........................................6分

?234

?0??2?

?−1??1?

?1?

?2?

對應齊次方程組的基礎解系為ξ=??，ξ=??，特解η=??..........................8分

1?1?

2?0?

?0?

??????

&there4;通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η（k1,k2為任意常數）...............................................10分

19.

解：?∫xy2dy−x2ydx

P(x,y)=−x2yQ(x,y)=xy2

….............................................1分

∂P=−x2,

∂y

由格林公式有

∂Q=y2......................................................................................................3分

∂x

?∫xy2dy−x2ydx=∫∫(∂Q−∂P)dxdy

…..................................6分

LD∂x∂y

=∫∫(x2+y2)dxdy

=2πdθaρ3dρ

πa4

…......................................7分

…......................................8分

四、應用題（本題10分）

=...................................................................10分

20.解：(1)作圖（略）.....................................................................................1分

(2)鑄鐵件體積的計算，取y為積分變量..................................................2分

體積元素(外)：體積元素(內)：

dV1=π10ydy，積分區間為[0,10]........................4分

dV2=π10(y−1)dy，積分區間為[1,10]..................6分

V=V1−V2..........................................................................................................7分

=∫0π10ydy−∫1

π10(y−1)dy.....................................8分

=95π..........................................................................9分

（3）鑄鐵件質量計算

m=ρV=7.8×95π=741π(g)

答：鑄鐵件的質量為741πg.................................................................10分

河北省普通高等學校專升本考試

高等數學（一）（理工類）模擬試卷2

（考試時間：60分鐘）

（滿分：100分）

說明：請在答題紙的相應位置上作答，在其他位置上作答的無效。

1.函數f(x)=2−x2,

A.1+cos(2−x2)

C．sin2x+2cosx

g(x)=1+cosx,則f(g(x))=（）.

B.1−cos(2−x2)

D．sin2x−2cosx

?sinxx>0

2.設函數f(x)=?0

x=0

，則x=0是f(x)的（）.

?x+1

x<0

A.可去間斷點B．跳躍間斷點

C．第二類間斷點D．連續點

3.已知y

=sinx，則y(6)=（）.

A.sinxB．cosx

C．−sinx

4.已知f(x)可導，lim

Δx→0

A.−2f′(x)

C.−1f′(x)2

D.−cosx f(x+Δx)−f(x−Δx)

Δx=（）.

B.2f′(x)

D．1f′(x)2

5.平面π1:x−y+2z−6=0

A．

C．

與平面π2:2x+y+z−5=0間的夾角為（）.

B．

D．

?x2

6.設函數f(x)=?

?ax−1

A.−1

x≤1

x>1

在點x=1處連續，則a=（）.

B.0

C．1D．2

7.設A為m×n(m≠n)矩陣，且r(A)=r<n，則下列結論錯誤的是（）.

A.A的列向量組線性相關B．Ax=b有無窮多個解

C．Ax=0有非零解D．Ax=0的基礎解系含有n−r個解向量

8.設函數f(x)在(a,b)內可導，x1,x2∈(a,b)且x1<x2，則下列正確的是（）

A.∃ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=

B.∃ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0

f′(ξ)(b−a)

C.∃ξ∈(x1,x2)，使得f(x2)−f(x1)=

D.∃ξ∈(x1,x2)，使得f′(ξ)=0

f′(ξ)(x2−x1)

9．設∫0

f(t)dt=1f(x)−1，且f(0)=1則f(x)=（）.

22，

A.e2

B.1e2

C.e2x

∞

D.1e2x

∞

10.設冪級數∑a xn，(a則為常系數）在點x= −2處收斂，則∑a

(−1)n（）.

n=0

A.絕對收斂B．條件收斂

C．發散D．斂散性不確定

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，將答案填寫在答題紙的相應位置上）

elnx

11.交換二重積分的積分次序∫1dx∫0

f(x,y)dy=.

12.橢圓

x2+y2=

1在點A(2,32)處的切線方程.

13.設函數z=x2sin2y，則其全微分為.

dy3y3

14.微分方程

−=(x+1)2滿足y

dxx+1

x=0

=0的特解為.

15.已知A為三階矩陣且A=3，則A&lowast;=.

三、計算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分，將解答的主要過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上）

16.求函數z=f(x+,y+)其中f(u,v)可微，求dz.

yx，

17.求曲線y2=2x與直線y=x−4所圍成區域的面積.

18.求函數f(x)=1x3−x2−3x−3的極值點和極值.

?1??−1?

?1??1?

?5??−1?

?−2??3?

19．求向量組α=??，α=??，α=??，α=??的極大無關組，并

1?3?2?−1?3?8?4?1?

????

將其余向量用此極大無關組線性表示.

????

四、應用題（本題10分，將解答的主要過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上）

20．在魚腹梁設計中，需要計算拋物線y=ax2在x= −b至x=b之間的弧長，

試利用定積分中弧長的計算公式s=∫a

1+[f′(x)]2dx加以確定.

高等數學（一）（理工類）模擬試卷2參考答案及評分標準

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.選對的3分，選錯、未選或

多選得0分）

1.D2.A3.C4.B5.B6.D7.B8.C9.C10.A

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.填對得4分，未填或填錯的0分）

11.

∫0dy∫eyf(x,y)dx

12.3x+2y−62=0

13.dz=2xsin2ydx+2x2cos2ydy

15.9

14.

y=−2(x+1)2+2(x+1)3

三、計算題(本大題共4題，每題10分，共40分.解答過程、步驟和答案必須完整、正確）

16.解：

∂z=

∂x

∂z

f−1

1x2

f2...........................................................................................................................3分

=−

∂yy2

∂z

f1+f2

∂z

….........................................................................6分

dz=∂xdx+∂ydy

….....................................................................8分

=(f1−x2f2)dx+(−y2

f1+f2)dy

…......................................10分

?y2=2x

17.

解：(1)方程組?y=x−4

得交點坐標為(2,−2),

(8,4).......................2分

(2)取y為積分變量，積分區間為[−2,4].....................................4分

面積元素dA=(y+4−1y2)dy

…................................................6分

(3)所求圖形面積為

A=∫4(y+4−1y2)dy

…...........................................................8分

−22

?1?4

=y2+4y−

6?−2

=18

…....................................................10分

18.解：(1)函數f(x)

的定義域為(−∞ + ∞)

…................................................1分

(2)f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)

….............................................4分



令f′(x)=0得駐點為x1=−1,x2=3(3)列表				….........................................6分
x	(−∞,1)	−1	(−1,3)	3	(3,+∞)
f′(x)	+	0	−	0	+	….................8分
f(x)	↑	−4	↓	−12	↑

(4)極大值點為x= −1，極大值為f(−1)= −4

…..................................10分

19.解：

極小值點為x=3，極大值為f(3)= −12

?1−15−1??1−15

−1?

?11−23??02−74?

??→??

?3−181??02−74?

?13−97??04−148?

????

?1−15−1??1031?

???2?

?01−72??7?

→?2

?→?01−

2?............................................4分

?0000??2?

?0000?

α1,α2是一個極大無組......................................................................6分

?α=3α−7α

且有?

212

2.......................................................................................................10分

??α4=α1+2α2

四、應用題（本題10分）

20.解：(1)拋物線y=ax2,y′=(ax2)′=2ax

…....................................................2分

(2)

ds=

1+[f′(x)]2dx=

1+(2ax)2................................................................................4分

(3)

s=∫−b

1+(2ax)2dx

…..................................................................6分

=∫−b

1+4a2x2dx

=b1+4a2b2+

1ln(2ab+

1+4a2b2)

…...............................10分

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